Phương pháp giải toán DĐĐH bằng đường tròn

Vừa rồi mình có qua diễn đàn hocmai.vn, một bạn có nickname là bambilady đã hỏi mình về cách tính toán các vấn đề liên quan đến dao động điều hòa sử dụng phương pháp đường tròn. Mình đã trả lời trên diễn đàn rồi nhưng muốn post lại ở đây để các bạn có thể tiện theo dõi và đọc lại khi cần. Mình đi thẳng vào vấn đề nhé.

1. Một dao động điều hòa tương đương với hình chiếu của một chuyển động tròn đều lên đường kính của nó.

Các bạn hãy nhìn hình vẽ sau đây:

Giả sử M là một điểm chuyển động tròn đều với vận tốc góc ω (rad/s), trên một đường tròn tâm O bán kính bằng A cm. Tức là mỗi giây trôi qua là nó quét một góc có độ lớn là ω radian. Nếu gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên một đường kính (giả sử là trục Ox như hình trên). Thì khi M di dộng trên đường tròn thì “cái bóng” H của M cũng di chuyển theo, nhưng trên Ox.

Nếu coi Ox làm trục chuẩn và ở thời điểm ban đầu t0 = 0 vật có vị tí tại M thì theo theo tam giác vuông MHO ta có OH = OM.cosφ = Acosφ. Sau thời gian t nào đó, tức là tại thời điểm t vì (t0 = 0), điểm M tới vị trí M’ đồng thời quét một góc là ωt (rad). H cũng chạy theo tới vị trí mới H’ trên Ox, và OH’ = OM’.cos(ωt+φ) (1). Rõ ràng phương trình (1) mô tả một chuyển động tròn đều trên Ox với tần số góc ω và biên độ A.

Vì vậy, Một dao động điều hòa tương đương với hình chiếu của một chuyển động tròn đều lên đường kính của nó.

2. Ứng dụng vào giải toán.

Mình nghĩ đây là phần mọi người quan tâm hơn. Làm thế nào để khai thác mối quan hệ trên vào việc giải các bài toán mà chúng ta vẫn hay làm bằng cách “trâu bò”? Trong tin học có một thuật toán tìm kiếm gọi là brute-force searching nghĩa là tìm kiếm dùng sức như trâu bò😦. Đôi khi không có cách nào khác các lập trình viên vẫn phải sử dụng thuật toán này, và cũng có khi trong một phút thăng hoa nó tỏ ra rất hiệu quả.  Nhưng nói chung, chúng ta không nên lạm dụng quá. Não con người chứ có phải cái CPU máy tính đâu. Hơn nữa, cái máy hỏng thì còn thay được chứ bộ não hỏng thì lại là cả một vấn đề. Bây giờ mình đưa ra một bài toán ví dụ thế này:

Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 2cos(4πt + π/2) cm. Hãy tìm thời gian của vật khi nó đi hết quãng đường từ vị trí cân bằng O đến vị trí biên M, rồi quay trở lại vị trí N, với N là trung điểm của OM như hình vẽ phía dưới.


Một bạn giải như sau: Chu kỳ T =  2π/ω = 0.5(s). Đây là thời gian để vật di chuyển từ O đến M qua M’ rồi lại về O, nghĩa là thực hiện 4 lần biên độ A. Bây giờ quãng đường bài ra chỉ là đi từ O đến M (hết A), rồi từ M về N (hết A/2), tổng cộng hết có 3A/2. Đi đoạn 4A hết T(s) thì đi 3A/2 = chỉ hết (3/8) T mà thôi tức 0.1875(s). Cách giải này là sai, vì vật dao động điều hòa “di chuyển không đều”, nghĩa là lúc nhanh lúc chậm. Càng về gần VTCB nó càng chuyển động nhanh hơn, còn càng về biên nó lại càng chậm lại, đến biên nó “dừng hẳn” để đảo chiều. Bạn tưởng tượng ra dao động của con lắc lò xo nằm ngang thì sẽ thấy rõ điều đó. Vì vậy, rõ ràng cùng dài một đoạn là A/2 nhưng thời gian trên ON chắc chắn sẽ ngắn hơn trên MN. Bài này chúng ta làm như sau:

Trên đoạn đường OM = A vật tốn hết T/4 = 0.125 (s) là điều không bàn cãi. Trên đoạn đường từ M về N vật sẽ phải tốn thêm một thời gian Δt nào đó. Để tính Δt ta, sử dụng “phương pháp đường tròn” bằng cách dựng đường tròn như hình vẽ dưới.



Thời gian Δt để vật di chuyển từ M đến N cũng chính là thời gian một điểm trên đường tròn chạy từ M đến P và quét một góc ω.Δt = π/3. Mà ω = 4π nên Δt = 1/12 (s). Như vậy tổng cộng là vật tốn 0.125 + 1/12 ≈ 0.2083 (s) > 0.1875(s) như lời giải của bạn trên, vì rõ ràng di chuyển trên đoạn MN sẽ lâu hơn là đoạn ON.

Trên đây là một ví dụ mà mình nghĩ là rất dễ hiểu để các bạn tiếp cận với một phương pháp làm bài, tuy không mới nhưng có thể một số bạn chưa biết, nhằm tiết kiệm thời gian và sức lực. Nếu có bạn nào có thắc mắc gì hoặc muốn đóng góp, vui lòng để lại comment. Chúc các bạn một ngày vui vẻ.

Yours faithfully,

Rocky

Một phản hồi

  1. Chao anh Rockly, em xin loi truoc vi go TV ko dau,nhung anh co the cho em 1 so bai tap ve dang nay dc ko

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: