Ứng dụng dời hình trong cực trị hình học phẳng

Hôm nay mình muốn giới thiệu với các bạn lớp 11 một phương pháp giải quyết một số vấn đề về cực trị hình học thông qua phép dời hình. Mình đang dạy hai đứa nhóc lớp 11, chúng bảo ở trên lớp bây giờ mới chỉ học đến phép đối xứng trục, và thông thường là một bài trong SGK  phải học hơn một tuần mới xong …😦 hic. Mình nghĩ phương pháp học dạng này tốt nhất là học qua lý thuyết càng nhanh càng tốt, để có một cái nhìn tổng quát, rằng chúng ta có khoảng 4 hay 5 công cụ dời hình, và những công cụ này rất đơn giản nhưng ứng dụng nó lại là cả một nghệ thuật. Và vì thế, tất lẽ dĩ ngẫu, chúng ta sẽ là những nghệ sỹ😀 . Sau đó là làm bài tập cho từng dạng, rồi nâng cao hơn là những bài cần phối hợp 2 hay nhiều phép dời hình. Mọi lý thuyết sẽ sáng tỏ khi ta làm thành thạo các bài tập (thông thường cần làm n bài cho một dạng, với n →∞). Hình học là tư duy trực quan, vì vậy không một lý thuyết nào giúp ta thấu hiểu bản chất của nó bằng các bài tập và  những hình vẽ. Đó cũng là cách mình truyền tải lý thuyết của phần này: bài tập và hình vẽ.  Bây giờ không dông dài nữa, chúng ta bắt đầu “cuộc đời của một nghệ sỹ”…. 😀

Bài 1: Ở một thành phố nhỏ ven sông đang giải phóng mặt bằng để chuẩn bị quy hoạch một dự án đô thị mới. Các gia đình đều phải giải tỏa và đã chuyển đi nơi khác sau khi nhận một cục tiền đền bù. Tuy nhiên còn hai ngôi nhà vẫn chưa chịu di dời, đó là nhà của 2 lão Mathematican độc thân (A và B). Vị trí nhà 2 lão như hình vẽ.

Lão chủ thầu khuyên nhủ thế nào cũng không chịu đi (thông thường những nhà toán học thường hay hấp dở kiểu như thế). Lão ta nghĩ ra một cách là cho người phóng hỏa nhà lão B. Và hắn làm thật. Đang giữa trưa, nhà lão B tự dưng cháy, lão vội gọi điện cho ông bạn thân A nhờ chữa cháy giúp, vì tối qua đi tán gái, không biết là chó nhà nàng mới đẻ, hậu quả là bị nó cắn vào chân nên không thể đi lại được. Lão B thấy vậy, không ngại ngần vác một cái thùng phi tức tốc chạy ra bờ sông múc nước cứu bạn. Tuy nhiên toán học đã ngấm vào máu của lão nên chỉ trong 1/1000 giây, lão già A đã tìm ra được đường đi ngắn nhất từ nhà mình đến bờ sông để múc nước, và từ bờ sông đến nhà bạn. Nếu bạn rơi vào trường hợp như vậy bạn sẽ làm thế nào?

Lời giải:

Ta đưa bài toán về dạng như sau: Tìm điểm M (điểm múc nước) thuộc đường thẳng d (bờ sông) sao cho tổng khoảng cách MA + MB là nhỏ nhất  (1). Khi ta chưa biết một điều gì thì sự “tưởng bở” và “mơ hão” lại có vai trò quan trọng. Giá mà tìm được điểm M. Vậy ta giả sử đã tìm được M thỏa mãn (1) như hình vẽ.

Lấy A’ đối xứng với A qua d, ta sẽ có AM = A’M. Vậy bài toán trở thành: Tìm M để MA’ + MB là min. Mà ta nhận thấy đoạn nói A’, M, B là một đường gấp khúc. MA’+MB min khi đường gấp khúc này tiến về một đường thẳng. Vậy M sẽ là giao của A’B với d. Hình vẽ

Như vậy ý tưởng sẽ là:

Bài toán yêu cầu tìm min của một tổng S là tổng của hữu hạn các đoạn thẳng. Ta phải dùng những phép dời hình thích hợp để thay thế những đoạn cần thiết bởi những đoạn tương đương. Sao cho tổng cần tính của ta trở thành một đường gấp khúc. Đường này sẽ min khi nó là một đường thẳng. Từ đó rút ra hướng dựng. Cái “giá mà” đã trở thành hiện thực.

Bài 2: Bây giờ có một góc nhọn xOy và một điểm A bên trong góc này. Hãy tìm B thuộc Ox và C thuộc Oy sao cho chu vi tam giác ABC là min.

Lời giải: Lại là “giá mà tìm được B, C thỏa mãn” thì tốt biết mấy. Khi đó S = AB + BC + AC min.

Lấy đối xứng của A lần tượt qua Ox, Oy ta được tương ứng E, F . Khi đó AB = EB, AC = FC. Tổng S = EB + BC + CF. Lại là một đường gấp khúc. Tất lẽ dĩ ngẫu, B và C phải là giao của , F với Ox và Oy rồi.

Hai ví dụ trên chúng ta đều sử dụng tính chất của phép đối xứng trục để giải quyết bài toán dựa trên định hướng “đưa đường gấp khúc về đường thẳng”

Bài 3: Bây giờ ví dụ cuối cùng. Có 3 thành phố A, B, C nằm ở 3 đỉnh của một tam giác nhọn. Tất cả người dân trong thành phố đều có sở thích ăn gà rán KFC. Tuy nhiên KFC dạo này đang làm ăn thua lỗ nên không thể đầu tư xây tại mỗi thành phố một nhà hàng được. Vì vậy , học quyết định xây một nhà hàng ở trong lòng tam giác, sao cho tổng khoảng cách từ nhà hàng đến trung tâm 3 thành phố là ngắn nhất. Nếu KFC thuê bạn thiết kế, bạn sẽ làm ntn?

Lời giải: Lại “giá mà” nhé, ta sẽ có hình vẽ

Bài toán trở thành: Tìm điểm I bên trong tam giác nhọn ABC, sao cho S = IA + IB + IC là min.

Thực hiện phép quay tâm B, với góc quay 600 biến I thành J và biến A thành A’. Khi đó tam giác BIJ đều, vì BI =BJ và B = 600 → BI = IJ. Mặt khác, AI = A’J do phép quay là một phép dời hình biến một đoạn thành một đoạn bằng nó.

Ta có

BI = IJ

AI = A’J

Vậy S = A’J + JI + IC. Lại là một đường gấp khúc. Để S min thì I, J phải nằm trên đường thẳng A’C sao cho BIJ là tam giác đều. Vậy cách dựng như sau

Bước 1: Dựng A’ là ảnh của A qua phép quay tâm B một góc 60 độ

Bước 2: Kẻ BH vuông góc A’C. Sau đó lấy I trên A’C sao cho BHI = 30 độ.

Vậy I là điểm cần tìm

Trên đây là 3 ví dụ Rocky đưa ra để các bạn nắm được tư tưởng chung về hướng giải quyết một bài toán liên quan đến vấn đề cực trị trong hình học phẳng. Có thể tóm tắt lại là:

Bước 1: Xây dựng mô hình toán học cho bài toán. Tức là biến bài toán thực tế về ngôn ngữ toán học. Ví dụ trong bài 3 ta biến 3 thành phố A, B, C thành 3 đỉnh của 1 tam giác; quán gà rán KFC là  điểm I …

Bước 2: Giả sử bài toán đã giải xong. Từ đó ta tìm ra những tính chất đặc biệt, rồi suy ngược lại cách dựng.

Thông thường ta phải biến tổng S thành tổng của các đoạn thẳng, mà các đoạn này lập thành một đường gấp khúc. S min khi đường gấp khúc là một đường thẳng.

Hy vọng sẽ có ích cho các bạn.

Một phản hồi

  1. Sách giải =]]

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: